リーマン予想

数の中で、2、3、5、7、11のような素数は、ほかの数の積に分けられない「数の原子」です。ところがこの素数たちは、いつ現れるのかまったく予測できない不規則な性質をもっています。夜空に気ままにばらまかれた星のように見えるので、数学者たちは何千年も頭を悩ませてきました。

1859年、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンは、素数の分布をとらえられる特別な式、リーマンゼータ関数の研究を始めました。彼は、すべての自然数のべき乗の逆数を足し合わせる複雑な式を、複素数（実数と虚数を合わせた数）の世界まで広げて調べたのです。

驚いたことにリーマンは、この関数が0になる点をすべて知れば、ある数までに素数がいくつあるかを正確に表す式を立てられることに気づきました。ゼータ関数は、ランダムに見える素数の秘密を解き明かす魔法の地図だったわけです。

ゼータ関数の計算結果が0になる特別な点を「零点」と呼びます。簡単に見つかる自明な零点を除いた、残りの重要な零点は、複素平面という特別な2次元の空間の上に打たれます。

リーマンは、コンピューターのなかった時代に、最初のいくつかの零点を手で概算してみました。すると驚いたことに、それらの零点の横座標（実部）がすべて、「2分の1」という縦の線の上に乗っているように見えたのです。

リーマン予想とはまさに、「ゼータ関数が0になる重要な点は、例外なくこの2分の1の線の上にだけ存在する」という主張です。もしこの線から外れた点がたった一つでも見つかれば、予想はたちまち崩れます。

もう少し正確にいうと、リーマン予想は単なる数学的な好奇心を超えた問題です。現代数学で発表された千を超える定理が、「リーマン予想が正しいならば」という仮定のうえで証明されているからです。

もしリーマン予想が正しいと証明されれば、ある数までに素数がいくつあるかを見積もるときの誤差が、どれほど小さいかを確定できるようになります。素数ひとつひとつの位置を公式で取り出せるという意味ではありません。素数は現代の暗号の材料でもありますが、リーマン予想が証明されたからといって、暗号がすぐに破られるわけではありません。

また、ゼータ関数の零点の間隔は、重い原子核のエネルギー準位の間隔と、統計的に驚くほどよく似ています。おかげでリーマン予想は、数学と量子物理学をつなぐ研究テーマになりました。

これまでにスーパーコンピューターで数兆個を超える零点が確かめられましたが、すべて2分の1の線の上にありました。それでも、無限の数の世界では例外が一つもあってはならないので、クレイ数学研究所はこの問題に100万ドルの賞金をかけ、完全な論理的証明を待っています。