コラッツ予想

数字の6を例に、順番にたどってみましょう。6は偶数なので2で割って3になります。3は奇数なので3をかけて1を足し、10になります。10は偶数なので5に減り、5は奇数なので16へ跳ね上がります。16は偶数なので、8、4、2、1と一気に減って、とうとう1に着きます。

数が大きくなったり小さくなったりを繰り返す姿は、雲の中を上下しながら大きく育ち、やがて地面に落ちてくる雹に似ています。そこで、こうした数は雹数（ひょうすう）とも呼ばれます。27のようなありふれた数でも、最大で9232まで跳ね上がり、111回も上下したあと、ようやく1に着くのです。

わずか数回で1になる数もあれば、目が回るほど複雑な道のりをたどる数もあります。それでも驚くことに、人類がこれまで試したすべての数は、ひとつの例外もなく最後には必ず1に到達しました。

数が1に着いたあと、何が起こるのでしょうか。1は奇数なので、3をかけて1を足すと4になります。4は偶数なので2になり、2も偶数なので1に戻ります。つまり4→2→1のループという終わりのない輪の中に、永遠に閉じ込められることになります。

この予想が正しいといえるためには、2つの危険を避けなければなりません。1つ目は、1にたどり着かないまま限りなく大きくなり続ける「脱出ルート」がないこと。2つ目は、4→2→1とは別の、見知らぬ数どうしがぐるぐる回る別のループがないことです。

数学者たちは複数のスーパーコンピューターを使い、2の71乗（約2.4×10²¹）までのすべての数を1つずつ計算して調べました（2025年発表）。しかし、別のループに入る数も、永遠に大きくなり続ける数も、ただの1つも見つかっていません。それでも数学では、すべての数を実際に当てはめることはできないので、厳密な論理的証明が今も必要なのです。

ルールがこんなに単純なのに、なぜ世界屈指の天才数学者たちも手を上げてしまったのでしょうか。一見すると、奇数のときに3倍になる勢いよりも、偶数のときに半分になる場面のほうが多く現れて、結局は小さくなりそうに思えます。けれども、奇数と偶数が現れる順番がランダムのように不規則なので、一般的な規則でまとめることが難しいのです。

数学者のポール・エルデシュは「数学はまだこのような問題を扱う準備ができていない」と語りました。見た目は単純な四則演算ですが、整数論や力学系といった分野の難しい問題とつながっていると考えられています。

現代数学の巨匠、テレンス・タオ教授は2019年に、「ほとんどすべての数は、計算を続けると出発点よりずっと小さな値まで下がる」という重要な結果を証明しました。ただ、「例外なく100％すべての自然数」という完全な締めくくりは、今も未完の宿題として残っています。