콜라츠 추측
구름 속을 오르내리다 결국 땅으로 떨어지는 우박처럼, 어떤 숫자도 오르락내리락하다 결국 1에 떨어진다는 수학의 수수께끼예요.
정의 콜라츠 추측은 아무 자연수나 하나 골라서 짝수면 반으로 나누고 홀수면 3을 곱한 뒤 1을 더하는 과정을 반복하면, 결국 어떤 숫자든 마지막에는 1에 도달한다는 수학적 추측이에요. 규칙은 초등학생도 이해할 만큼 간단하지만, 현대 수학으로도 아직 참인지 거짓인지 증명하지 못한 대표적인 난제예요.
우박처럼 오르내리는 숫자의 롤러코스터
숫자 6을 예로 들어 차근차근 따라가 볼까요? 6은 짝수니까 2로 나누어 3이 돼요. 3은 홀수니까 3을 곱하고 1을 더해 10이 되죠. 10은 짝수라 5로 줄어들고, 5는 홀수라 16으로 솟구쳐요. 이제 16은 짝수이므로 8, 4, 2, 1로 빠르게 줄어들어 결국 1에 닿아요.
숫자가 커졌다가 작아지기를 반복하는 모습이 마치 구름 속에서 오르내리며 크기를 키우다 땅으로 떨어지는 우박과 닮았다고 해서 이 수들을 우박수라고도 불러요. 27 같은 평범한 숫자는 최고 9232까지 치솟으며 111번이나 오르내린 뒤에야 비로소 1에 도착하기도 해요.
어떤 숫자는 단 몇 번 만에 1이 되고, 어떤 숫자는 어지러울 정도로 복잡한 경로를 거쳐요. 하지만 놀랍게도 지금까지 인류가 시험해 본 모든 숫자는 단 하나도 빠짐없이 마지막에 반드시 1에 도달했어요.
1에 도착하면 빠져나올 수 없는 굴레
숫자가 1에 도착하면 그 뒤에는 무슨 일이 일어날까요? 1은 홀수이므로 3을 곱하고 1을 더하면 4가 돼요. 4는 짝수니까 2가 되고, 2는 다시 짝수니까 1로 돌아와요. 즉, 4-2-1 순환이라는 끝없는 굴레에 영원히 갇히게 되는 셈이에요.
이 추측이 참이 되려면 두 가지 위험을 피해야 해요. 첫째는 숫자가 1에 도달하지 않고 끝없이 무한히 커지는 탈출 경로가 없어야 해요. 둘째는 4-2-1이 아닌 완전히 다른 낯선 숫자들끼리 맴도는 또 다른 순환 고리가 없어야 하죠.
수학자들은 슈퍼컴퓨터를 총동원해 무려 30경이 넘는 거대한 수까지 모두 일일이 계산해 보았어요. 하지만 다른 순환 고리에 빠지거나 영원히 커지는 숫자는 단 하나도 발견되지 않았어요. 그럼에도 수학에서는 모든 수를 전부 대입해 볼 수 없기에 엄밀한 논리적 증명이 여전히 필요해요.
조금 더 정확히 말하면 — 왜 아직 풀지 못했을까요?
규칙이 이렇게 단순한데 왜 세계 최고의 천재 수학자들도 두 손을 들었을까요? 언뜻 보면 홀수일 때 3배로 커지는 속도보다 짝수일 때 절반으로 줄어드는 단계가 더 자주 나타나 결국 작아질 것 같지만, 홀수와 짝수가 나타나는 순서가 완전한 무작위처럼 불규칙하기 때문이에요.
수학자 에르되시 팔은 "인류의 수학은 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되지 않았다"라고 경고했어요. 겉보기에는 단순한 초등 사칙연산 같지만, 그 이면에는 카오스 이론이나 정수론의 가장 깊고 까다로운 원리가 숨어 있어요.
현대 수학의 거장 테렌스 타오 교수가 최근 '거의 모든 숫자가 1에 극도로 가까워진다'는 획기적인 증명을 내놓았지만, '예외 없이 100% 모든 자연수'라는 완벽한 마침표는 여전히 미완의 숙제로 남아 있어요.
🤔 흔한 오해
슈퍼컴퓨터로 엄청나게 큰 수까지 전부 1이 되는 것을 확인했으니 이미 증명된 것이다.
자연수는 무한하기 때문에 아무리 많은 숫자를 컴퓨터로 확인해도 참이라고 단정할 수 없어요. 단 하나의 반례만 존재해도 거짓이 되므로 논리적인 완전한 증명이 필요해요.
🧺 일상에서 만나요
짝수는 반으로 나누고 홀수는 3을 곱해 1을 더하면 어떤 숫자든 결국 1이 된다는, 단순하지만 아직 풀리지 않은 수학 난제예요.