카프리카 상수

어떤 숫자든 6174로 빨려 들어가는 마술

서로 다른 숫자가 섞인 4자리 숫자를 아무거나 하나 떠올려 보세요. 예를 들어 2024를 골라볼게요.

먼저 네 숫자를 가장 큰 순서대로 배열해 큰 수(4220)를 만들고, 반대로 가장 작은 순서대로 배열해 작은 수(0224)를 만들어요. 그런 다음 큰 수에서 작은 수를 뺍니다. 4220에서 224를 빼면 3996이 나와요.

이제 이 3996으로 똑같은 과정을 반복해 볼게요. 가장 큰 수 9963에서 가장 작은 수 3699를 빼면 6264가 돼요. 다시 6264로 큰 수 6642에서 작은 수 2466을 빼면 4176이 나오고, 4176으로 7641에서 1467을 빼면 드디어 6174가 나와요.

놀랍게도 6174에 도달한 뒤 같은 계산을 하면 7641 - 1467 = 6174가 되어 영원히 6174에서 벗어나지 못해요. 어떤 4자리 숫자로 출발하든 최대 7번만 계산하면 모두 이 숫자에 도달하게 돼요.

조금 더 정확히 말하면: 수학적 원리와 조건

이 신기한 계산법은 1949년 인도의 수학자 D. R. 카프리카가 발견했어요. 이처럼 자릿수를 재배열해 뺀 뒤 다시 입력값으로 넣는 과정을 '카프리카 연산'이라고 불러요.

수학에서는 어떤 연산을 반복했을 때 자기 자신으로 돌아오는 값을 '고정점' 또는 '끌개'라고 표현해요. 4자리 수의 세계에서는 6174가 유일한 고정점 역할을 하는 셈이에요. 마치 언덕 위에서 굴러떨어진 공이 골짜기 가장 깊은 바닥에 멈추는 것과 같아요.

다만 한 가지 예외가 있어요. 1111이나 7777처럼 네 자리 숫자가 모두 같은 경우는 가장 큰 수와 가장 작은 수가 같아서 한 번 만에 0이 되어버려요. 따라서 '적어도 두 개 이상의 서로 다른 숫자를 포함한 4자리 수'라는 조건이 꼭 필요해요.

다른 자릿수에도 마법의 숫자가 있을까요?

3자리 숫자로 같은 규칙을 적용하면 어떨까요? 예를 들어 523으로 시작해 볼게요. 큰 수 532에서 작은 수 235를 빼면 297이 나와요. 972에서 279를 빼면 693이 되고, 963에서 369를 빼면 594가 돼요. 마지막으로 954에서 459를 빼면 495가 나와요.

495 역시 954 - 459 = 495가 되어 멈춰요. 즉 3자리 수의 카프리카 상수는 495예요. 3자리 수는 어떤 숫자로 시작하든 최대 6번 안에 495로 모이게 돼요.

하지만 모든 자릿수에서 하나의 고정된 숫자가 나오는 것은 아니에요. 2자리 수나 5자리 수에서는 하나의 숫자로 멈추지 않고, 여러 숫자가 쳇바퀴처럼 뱅글뱅글 도는 순환 고리에 빠지게 돼요. 4자리 수에서 오직 6174라는 단 하나의 숫자로 깔끔하게 수렴하는 것은 수학적으로 매우 특별하고 아름다운 우연이에요.