프랙털

식탁 위에 놓인 브로콜리나 콜리플라워를 자세히 들여다보신 적이 있나요? 커다란 브로콜리 덩어리에서 작은 가지 하나를 똑 떼어내면, 그 작은 조각 역시 원래 커다란 덩어리와 아주 닮은 모양을 하고 있어요.

그 작은 조각에서 다시 더 작은 봉우리를 떼어내도 모양은 여전히 닮아 있어요. 이렇게 쪼개거나 확대해도 처음 모습과 닮은 패턴이 거듭 나타나는 성질을 '자기유사성'이라고 불러요.

우리가 학교에서 배우는 삼각형이나 원 같은 일반적인 도형은 크게 확대하면 결국 매끄러운 직선이나 곡선이 돼요. 하지만 수학 속 프랙털은 아무리 가까이 다가가도 매끄러워지지 않고, 새로운 세부 모습이 끊임없이 튀어나와요.

이런 독특한 규칙 덕분에 컴퓨터 그래픽 기술자들은 몇 줄의 단순한 계산 공식만으로 거대한 산맥이나 울창한 숲, 구름 같은 복잡하고 생생한 자연 풍경을 손쉽게 만들어내기도 해요.

자연 속을 둘러보면 이런 되풀이 구조가 정말 가득해요. 하늘에서 번쩍이며 갈라지는 번갯불, 하늘에서 내리는 눈송이의 결정, 겨울철 유리창에 사각사각 맺히는 성에 무늬, 그리고 굽이쳐 흐르는 거대한 강줄기의 갈래도 모두 프랙털 구조를 띠고 있어요.

우리 몸속을 들여다보아도 마찬가지예요. 허파(폐)에 퍼져 있는 기관지와 온몸 구석구석으로 뻗은 혈관은 굵은 관에서 점점 가는 관으로 여러 번 갈라지며 뻗어나가고, 혈관은 끝에서 촘촘한 모세혈관 그물로 이어져요. 여기에는 좁은 공간 안에서 최대한 넓은 표면적을 확보하려는 놀라운 생존 전략이 숨어 있어요.

예를 들어 우리 허파는 작은 가슴 공간에 얌전히 쏙 들어가 있지만, 기관지가 20여 번 가지를 친 끝에 수억 개의 허파꽈리가 달린 구조 덕분에 어림잡아 70~100㎡, 테니스 코트 절반 안팎의 공기 접촉면을 만들어내요. 그 덕분에 허파는 기체를, 혈관은 영양분을 좁은 공간 안에서 효율적으로 주고받을 수 있는 구조를 갖추게 된 셈이에요.

식물도 마찬가지로 나뭇가지는 잎을 넓게 펼쳐 햇빛을 효율적으로 받고, 잎맥은 잎 구석구석까지 물과 양분을 나르기 위해 비슷한 분기 방식을 보여요.

수학에서 다루는 순수한 프랙털은 무한히 확대해도 세부 구조가 끝없이 이어져요. 코흐 곡선처럼 정확히 같은 모양이 되풀이되는 것도 있고, 컴퓨터 화면 속 만델브로 집합처럼 전체와 비슷하지만 조금씩 다른 모양이 나타나는 것도 있어요. 영국의 복잡한 해안선 길이를 잴 때, 더 작은 자로 잴수록 바위 틈새와 굴곡이 더해져 길이가 늘어나는 유명한 역설도 이 성질로 설명돼요.

하지만 실제 자연물은 무한히 반복되지 않아요. 세포나 분자, 원자라는 물리적인 기본 알갱이 크기가 존재하기 때문에 물리적 한계에 도달하면 되풀이가 멈추는 유한한 구조예요.

또한 수학자들은 이러한 구조의 복잡성을 측정하기 위해 흔히 정수가 아닌 값으로 나오는 '프랙털 차원'이라는 도구를 사용해요. 울퉁불퉁한 해안선은 단순한 선(1차원)보다 복잡하지만 평면(2차원)을 다 채우지는 못해 그 사이 값이 나오고, 구겨진 종이 뭉치는 면(2차원)과 입체(3차원) 사이 값이 나와요.