카오스 이론

당구대 위에서 공이 다른 공들과 연달아 부딪히는 장면을 떠올려 보세요. 처음의 아주 작은 각도 차이가 둥근 공에 부딪힐 때마다 몇 배씩 커져서, 몇 번만 부딪혀도 공은 전혀 엉뚱한 곳으로 굴러가요.

이처럼 시작 단계에서 생겨난 아주 작은 차이가 시간이 흐를수록 기하급수적으로 커지는 현상을 과학에서는 초기 조건에 대한 민감성이라고 불러요. 우리가 일상에서 흔히 말하는 '나비효과'가 바로 이 현상을 가리키는 또 다른 이름이에요.

미국의 기상학자 에드워드 로렌츠는 컴퓨터로 날씨를 시뮬레이션하다가 이 원리를 우연히 발견했어요. 중간값 0.506127을 0.506으로 반올림해 입력했을 뿐인데, 시간이 지나자 계산된 날씨 패턴이 원래 결과와 전혀 다른 모습으로 갈라졌던 거예요.

훗날 1972년 로렌츠의 강연 제목 '브라질에 있는 나비 한 마리의 날갯짓이 텍사스에 토네이도를 일으킬 수 있을까?'에서 나비효과라는 말이 널리 퍼졌어요. 아주 작은 차이가 복잡한 시스템의 결과를 크게 바꿀 수 있지만, 그 날갯짓이 토네이도를 만들지 막을지는 미리 알 수 없다는 뜻이었어요.

우주선을 달에 보내거나 행성의 움직임을 계산할 때는 수십 년 뒤의 위치도 초 단위까지 척척 맞출 수 있어요. 천체의 움직임은 수십~수백 년 정도는 매우 정확하게 계산할 수 있거든요. 다만 수천만 년 이상 내다보면 행성 궤도조차 카오스 때문에 정확히 예측할 수 없어요.

그런데 최첨단 슈퍼컴퓨터를 쓰는 일기예보는 일주일 정도는 꽤 잘 맞히면서, 왜 2주 가까이 넘어가면 정확도가 급격히 떨어질까요? 지구의 대기는 수많은 공기 분자가 쉼 없이 부딪히고 햇빛과 바다와 구름이 복잡하게 얽혀 있는 거대한 그물망과 같아요.

지구 전체의 모든 공기 알갱이 위치와 속도, 온도를 오차 없이 완벽하게 측정하는 것은 현대 과학으로도 불가능해요. 아무리 강력한 컴퓨터를 써도 시작 단계의 작은 측정 오차가 시간이 지날수록 눈덩이처럼 불어나기 때문이에요.

바다 위를 날아가는 갈매기 한 마리의 날갯짓이나 나뭇잎 하나의 흔들림조차 몇 주 뒤 날씨 계산을 완전히 다른 길로 이끌 수 있어요. 결국 카오스 이론은 우리가 미래를 예측하는 데 있어서 피할 수 없는 자연의 근본적인 한계를 보여줘요. 다만 한 달 평균 기온이 평년보다 높을지 같은 경향은 확률로 전망할 수 있어요.

많은 사람이 '카오스(혼돈)'라는 단어를 들으면 아무런 규칙도 없고 통제할 수도 없는 순수한 우연이나 무법천지를 떠올려요. 주사위를 던지는 것처럼 결과가 제멋대로 튀어나오는 마구잡이 상태라고 오해하기 쉽죠.

하지만 카오스 이론의 진짜 핵심은 정반대에 있어요. 카오스 현상은 규칙이 없는 게 아니라, 정해진 법칙(방정식)을 그대로 따르는 시스템에서 나타나는 결정론적인 현상이에요.

즉 모델 속 모든 과정은 수학 공식대로 정확히 흘러가지만, 인간이 시작 지점의 정보를 무한히 정밀하게 잴 수 없어서 겉보기에만 무작위처럼 보일 뿐이에요. 이론상으로는 초기 조건을 무한히 정밀하게 알면 미래가 하나로 정해지지만, 현실에서는 그렇게 잴 수 없어요.

로렌츠가 만든 단순한 대류 방정식의 해를 3차원 공간에 그려 보면 나비 날개 모양의 궤적이 나타나는데, 이를 '로렌츠 끌개'라고 불러요. 궤적은 예측할 수 없게 움직이지만 정해진 모양 안에서만 맴돌아서, 혼돈 속에도 숨겨진 수학적 질서가 있다는 걸 보여 주는 대표적인 예예요.