순열과 조합
달리기 시합에서 1, 2, 3등을 가려 상을 주는 것과, 함께 뛸 대표 선수 3명을 뽑는 것의 차이예요.
정의 여러 개 중에서 몇 개를 골라낼 때 순서가 중요하면 순열(Permutation), 순서 상관없이 모둠만 짜면 조합(Combination)이라고 불러요. 똑같은 재료를 고르더라도 줄을 세우느냐 그릇에 한꺼번에 담느냐에 따라 계산하는 경우의 수가 완전히 달라져요.
자물쇠 비밀번호와 피자 토핑의 차이
자전거 비밀번호가 1-2-3일 때, 3-2-1을 누르면 자물쇠가 열리지 않아요. 고른 숫자의 순서가 다르면 완전히 다른 비밀번호가 되기 때문이에요. 이렇게 무엇을 뽑았는지뿐 아니라 어떤 순서로 나열했는지까지 꼼꼼하게 따지는 방법을 '순열'이라고 불러요.
반면에 피자를 주문할 때 올리브, 버섯, 양파를 고르는 상황을 떠올려 보세요. 요리사에게 버섯을 먼저 말하든 올리브를 먼저 말하든 완성된 피자는 똑같아요. 순서와 상관없이 어떤 종류를 선택했는가 자체만 중요할 때는 '조합'을 써요.
즉, 같은 대상에서 같은 개수를 뽑더라도 순서라는 조건이 붙는 순간 순열이 만들어내는 경우의 수가 훨씬 많아져요.
계산할 때 왜 숫자가 달라질까요?
반에서 5명의 학생 중 반장과 부반장을 뽑는다고 해볼게요. 반장이 될 수 있는 사람은 5명이고, 남은 4명 중에서 부반장을 뽑으므로 경우의 수는 5 곱하기 4, 즉 20가지가 돼요. 반장과 부반장은 역할과 순서가 정해져 있는 순열이기 때문이에요.
이번에는 5명 중에서 청소 당번 2명을 뽑아볼게요. 영희와 철수를 뽑으나, 철수와 영희를 뽑으나 똑같은 청소 당번 한 쌍이에요. 순열로 계산했던 20가지 안에는 이처럼 순서만 바뀐 쌍둥이 짝이 2개씩 들어있어요.
그래서 조합을 구할 때는 순열로 나온 결과에서 순서를 바꾸는 경우의 수만큼 나누어 주어야 해요. 20을 2로 나누면 청소 당번을 뽑는 경우의 수는 10가지가 나와요.
조금 더 정확히 말하면: 일상과 수학 기호
수학에서는 나열하는 계산을 줄여 쓰기 위해 느낌표(!) 기호인 팩토리얼(계승)을 써요. 3명 전원을 한 줄로 세우는 방법은 3 곱하기 2 곱하기 1로 총 6가지인데, 이를 '3!'이라고 써요.
조합은 순열을 이 줄 세우기(팩토리얼)로 나눈 값이에요. 예를 들어 45개 번호 중 6개를 맞히는 로또 복권은 번호를 적어낸 순서가 상관없으므로 조합의 대표적인 계산 예시예요. 만약 뽑힌 순서까지 정확히 맞춰야 하는 순열 복권이었다면 1등에 당첨될 확률은 지금보다 720배나 더 희박해졌을 거예요.
결국 순열과 조합을 구분하는 가장 단순한 질문은 하나예요. '순서가 바뀌면 결과가 달라지는가?' 이 질문에 순서가 중요하면 순열, 상관없으면 조합을 선택하면 돼요.
🤔 흔한 오해
영어 단어 Combination Lock(다이얼 자물쇠)처럼 일상에서 쓰는 '조합'과 수학의 '조합'은 완전히 같은 뜻이다.
자물쇠는 번호의 순서가 맞아야 열리므로 수학적으로는 '조합'이 아니라 '순열'에 해당해요. 일상 언어의 조합과 수학 용어의 조합은 순서 고려 여부에서 차이가 있어요.
🧺 일상에서 만나요
순서가 중요해서 줄까지 세우면 순열, 순서 없이 묶음으로 뽑기만 하면 조합이에요.