順列と組合せ

自転車の鍵の暗証番号が1-2-3のとき、3-2-1と押しても鍵は開きません。選んだ数字の順番が違えば、まったく別の暗証番号になるからです。このように、何を選んだかだけでなくどんな順番で並べたかまで細かく考える方法を「順列」と呼びます。

一方、ピザを注文するときにオリーブ、マッシュルーム、玉ねぎを選ぶ場面を思い浮かべてください。お店の人にマッシュルームを先に伝えても、オリーブを先に伝えても、できあがるピザは同じです。順番に関係なくどの種類を選んだかだけが大事なときは、「組合せ」を使います。

つまり、同じ対象から同じ個数を選ぶのでも、順番という条件がつくと、順列で生まれる場合の数はぐっと多くなります。

クラスの5人の中から、学級委員長と副委員長を選ぶとしましょう。委員長になれる人は5人、残りの4人の中から副委員長を選ぶので、場合の数は5かける4で20通りになります。委員長と副委員長は役割と順番が決まっているので、順列だからです。

今度は、5人の中から掃除当番を2人選んでみましょう。花子さんと太郎くんを選んでも、太郎くんと花子さんを選んでも、同じ掃除当番のペアです。順列で数えた20通りの中には、このように順番が入れ替わっただけの「双子のペア」が2つずつ含まれています。

だから組合せを求めるときは、順列の結果を順番を入れ替える場合の数で割ってあげる必要があります。20を2で割ると、掃除当番を選ぶ場合の数は10通りになります。

数学では、並べる計算を短く書くために、びっくりマーク（!）の記号である階乗を使います。3人全員を一列に並べる方法は、3かける2かける1で全部で6通りで、これを「3!」と書きます。

組合せは、順列をこの並べ方（階乗）で割った値です。たとえば、45個の番号から6個を当てる宝くじ（ロト）は、番号を書いた順番が関係ないので、組合せの代表的な計算例です。もし選ばれた順番まで正確に当てなければいけない順列のくじだったら、1等に当たる確率は今よりも720倍も低くなっていたでしょう。

結局、順列と組合せを見分けるいちばんシンプルな質問は、ひとつだけです。「順番が変わると結果が変わるか？」 この質問に対して、順番が大切なら順列、関係なければ組合せを選べばいいのです。