パスカルの三角形

子どもの頃、砂場で砂の山を築いたように、数字を一段ずつ積み上げていく遊びを想像してみてください。一番上の頂点に「1」を書き、そのすぐ下の段には「1」と「1」を並べます。3段目からは、真上にある2つの数を足して間に書き、両端にはいつも「1」を置きます。例えば、1と1を足すと2になるので、3段目は「1, 2, 1」となります。

その次の段も同じです。1と2を足して3、2と1を足して3と書き、両端に1を置くと「1, 3, 3, 1」ができあがります。このようにたった2つの数を足すだけの単純なルールで、数字のピラミッドが下へと無限に広がっていく構造を持っています。

完成した三角形を横の行ごとに見ていくと、さらなる規則性が隠されています。各段の数字をすべて足し合わせると、1段目は1、2段目は2、3段目は4、4段目は8、5段目は16になります。下に進むごとに各段の合計が2の累乗（べき乗）で2倍ずつ増えていく法則を、視覚的・直感的に示してくれます。

友達とコイントスで勝負をするときにも、この三角形が見事な答えを教えてくれます。コインを3回投げたときに表が何回出るか、そのすべての組み合わせ（場合の数）を知りたければ、4段目の「1, 3, 3, 1」を見ればよいのです。表が3回出るのが1通り、2回出るのが3通り、1回出るのが3通り、0回出るのが1通りであることを一目で教えてくれます。

中高の数学で頭を悩ませる「二項式の展開」でも、まさに裏ワザのような役割を果たします。例えば (a + b) を2乗あるいは3乗するとき、各項の前に付く係数が、この三角形の各段に並ぶ数字と完全に一致するのです。

(a + b)^n を展開するとき、各項の係数は三角形の対応する段の数字をそのまま並べるだけなので、カッコを1つずつ地道に外さなくても係数が一瞬で分かります。もちろん文字の部分は別途規則正しく書く必要がありますし、(a + b + c) のように項が3つ以上ある式にはそのまま使えません。それでも、パスカルの三角形が組み合わせや確率、代数学を結ぶ極めて強力な道具であることに変わりはありません。

パスカルの三角形の中には、単純な足し算にとどまらない神秘的なパターンが満ちています。三角形の数字を斜め方向に拾って足し合わせていくと、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…と前の2つの数を足すと次の数になるフィボナッチ数列が魔法のように現れます。ヒマワリの種の並びや松ぼっくりの螺旋に見られる、あの自然界の数字です。

視覚的にも驚くべき幾何学アートを生み出します。三角形に並ぶ数字のうち奇数だけを塗りつぶし、偶数を空白のまま残すと、大きな正三角形の中に小さな逆三角形が無数に繰り返されるシェルピンスキーのギャスケット（フラクタル図形）が目の前に浮かび上がります。

もう少し歴史を正確にたどると、この三角形をフランスの数学者ブレーズ・パスカルが世界で初めて発見したわけではありません。それより何百年も前から中国、ペルシャ、インドなどの多様な文明圏で知られていました。パスカルはこの三角形の性質を一冊の本に体系的にまとめ、厳密に証明しました。この著作がヨーロッパで大きな影響を与えたため、彼の死後、後世の数学者たちが敬意を込めて「パスカルの三角形」と呼ぶようになったのです。