パスカルの三角形
上にある2つの数を足して下へ積み重ねていく、ピラミッド型の「数の宝の地図」です。
定義 パスカルの三角形とは、頂点に数字の「1」を置き、上の段で隣り合う2つの数を足して下の段の数を順に並べていくピラミッド型の数の配列です。単純な足し算ルールだけで作られますが、代数の展開公式から確率、さらには幾何学図形まで、数学のあらゆる美しい法則が隠されている万能の宝の地図のような役割を果たします。
ピラミッドのように積み重なる足し算の世界
子どもの頃に砂場で山を作るように、数を一段ずつ積み上げていく遊びを想像してみてください。一番上の頂点に「1」を書き、その下の段には「1」と「1」を並べます。3段目からは、真上にある隣り合う2つの数を足した数を真ん中に書き、両端にはいつも「1」を置きます。たとえば1と1を足すと2になるので、3段目は「1, 2, 1」になります。
その次の段も同じです。「1と2を足して3」「2と1を足して3」と書き、両端に1を置くと「1, 3, 3, 1」が完成します。このように、たった2つの数を足し合わせるシンプルなルールだけで、数のピラミッドは下へ下へと無限に広がっていきます。
完成した三角形を横の行ごとに見ていくと、さらに別の規則が隠されています。各段の数をすべて合計してみると、1段目は1、2段目は2、3段目は4、4段目は8、5段目は16になります。下へ進むごとに、各段の合計が2の累乗（2のべき乗）として2倍ずつ増えていく法則を直感的に示してくれるのです。
確率や展開公式を解き明かす万能の鍵
友達とコイントスをして勝負をするときも、この三角形が驚くべき答えを教えてくれます。コインを3回投げたとき、表が何回出るかのすべての組み合わせを知りたければ、4段目の「1, 3, 3, 1」を見るだけで十分です。「表が3回出るパターンは1通り」「2回出るのは3通り」「1回出るのは3通り」「0回（すべて裏）は1通り」であることが一瞬でわかります。
学校の数学で頭を悩ませる多項式の展開（二項展開）でも、まさに裏ワザとして威力を発揮します。たとえば (a + b) を2乗や3乗したとき、それぞれの項の前に付く「係数」が、この三角形の各段に並ぶ数字と完全に一致します。
わざわざカッコを一つひとつ外して長い掛け算をする必要はありません。三角形の該当する段の数をそのまま書き写すだけで、どんなに高い次数の掛け算の式もあっという間に解けてしまいます。そのためパスカルの三角形は、組み合わせや確率、そして代数学を結ぶ極めて強力なツールとして使われています。
もう少し詳しく：自然界やアートへと広がるパターン
パスカルの三角形の中には、単なる足し算を超えた神秘的なパターンが数多く眠っています。数を斜め（対角線）方向に拾って足し合わせていくと、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…と、前の2つの数を足すと次の数になるフィボナッチ数列が魔法のように現れます。ヒマワリの種の並びや松ぼっくりのらせん構造に見られる、あの自然界の神秘の数列です。
視覚的にも見事な幾何学アートを生み出します。三角形の中の数字のうち「奇数」だけを塗りつぶし、「偶数」を空白のままにしておくと、大きな三角形の中に小さな逆三角形が無限に繰り返されるシェルピンスキーのギャスケット（フラクタル図形）が目の前に広がります。
正確に言うと、この三角形を最初に作ったのはフランスの数学者ブレーズ・パスカルではありません。それより数百年も前から、ペルシャ、中国、インドなど多様な文明でこの規則が知られていました。パスカルがこの三角形の持つ膨大な数学的性質を初めて体系的に証明し、発表した功績からその名が冠されています。
🤔 よくある誤解
パスカルの三角形は、パスカルが人類史上初めて発見したものである。
ブレーズ・パスカルより以前にも、11世紀ペルシャのウマル・ハイヤームや13世紀中国の楊輝など、多くの文明で独自に研究され記録に残されていました。パスカルが三角形の多様な性質を包括的に整理・証明してヨーロッパに広く知らしめた功績から、彼の名前が付けられています。
🧺 日常で出会う場面
上の2つの数を足すだけで作られる三角形でありながら、累乗、確率、フラクタルまで数学のあらゆる法則を秘めた万能の地図です。