フィボナッチ数列

階段をのぼるとき、1段前の位置と2段前の位置を足して次の一歩を決めると想像してみてください。フィボナッチ数列は、まさにこの単純な仕組みで動いています。最初の2つの数として0と1を置き、2つを足して1をつくり、また1と1を足して2をつくる、という具合です。

数を順に書いてみると、0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 と、どこまでも続きます。見た目は、小学生でも1分でルールに気づけそうなほど単純です。けれども、この単純な足し算のルールは、植物の葉や種の並びにも姿を現します。

この数列は、古代インドの学者たちが詩の韻律を数える中で、先に扱っていました。ヨーロッパには、イタリアの数学者フィボナッチが1202年の著書でウサギの繁殖問題として紹介したことで広まりました。1つがいのウサギが生まれて2か月目から毎月1つがいの子を産む、という理想的な状況を計算すると、この数の並びが出てきます。

公園のひまわりや、道ばたの松ぼっくりをじっくり見たことはありますか？ ひまわりの花の種は、時計回りと反時計回りにうねる渦巻き状の曲線を描いて、ぎっしり並んでいます。この渦巻きの数を数えてみると、なんと34本と55本、あるいは55本と89本のように、連続したフィボナッチ数が出てきます。

植物が数学を勉強してこう育つわけでは、もちろんありません。花の中心では、新しい種が1つ前の種から約137.5度ずつ回った位置にできることがよくあります。この角度は黄金角と呼ばれ、こうして並ぶと種がすき間なく均等に埋まり、その結果、目に見える渦巻きの数がフィボナッチ数になって現れます。

茎から葉が出る順番にも、このルールがよく見られます。なぜこの角度に落ち着いたのかは、成長点の化学的な信号で説明する研究が多く、それが最適な適応なのかどうかは、まだ議論が続いています。

フィボナッチ数列で、後ろの数をすぐ前の数で割ると、不思議なことが起こります。2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.666, 8/5=1.6, 13/8=1.625 のように、後ろへ進むほど約1.618というたった1つの特別な数に限りなく近づいていきます。この数がいわゆる「黄金比」です。人はこの比率をいちばん美しいと感じる、とよくいわれますが、実験ではっきり確かめられてはいません。

フィボナッチ数を1辺の長さとする正方形をうず巻き状に並べてつなぐと、「黄金螺旋」と呼ばれるなめらかな渦巻きの曲線ができあがります。オウムガイの殻や銀河の腕、台風の渦がこの曲線に似ているとよく語られますが、オウムガイの殻を実際に測ってみると、黄金比とは違う比率で大きくなっています。

ただし、自然のすべての渦巻きが完全なフィボナッチ数列や黄金比というわけではありません。自然にはさまざまな曲線があり、フィボナッチ数がはっきり現れる代表的な場所は、植物の葉のつき方と種の並びです。