0.999... = 1

ピザ1枚を3等分すると、1ピースは分数で「3分の1」になります。これを小数に直すと、0.333…のように3が無限に続きますよね。この3つに切り分けたピザをもう一度集めると、当然ながら元の丸ごと1枚のピザに戻ります。

数式でもまったく同じです。3分の1に3を掛けると、分数では間違いなく「1」です。ところが、小数である0.333…に3を掛けると正確に0.999…になります。元のピザ1枚に戻ったのですから、0.999…と1は等しくならざるを得ません。

方程式を使っても簡単に確かめられます。0.999…をxとおき、両辺を10倍すると「10x = 9.999…」になります。ここから最初の「x（0.999…）」を引くと、小数点以下の無限の9がきれいに消え去り、「9x = 9」というシンプルな式が残ります。つまりx = 1となり、0.999…は1そのものなのです。

人間の直感は「0.9のあとに9を次々と付け足していく途中経過」を思い浮かべてしまうため、1より小さいと感じてしまいます。しかし数学において「…（三重点）」は途中経過ではなく、すべての9がすでに無限に埋め尽くされた完成された状態を意味します。

厳密に言えば、0.999…は「無限等比級数」という足し算です。「0.9 + 0.09 + 0.009 + …」と果てしなく足し合わされる無限の和の極限値（ゴール地点）を1つの数として定義したものなのです。高校数学で習う極限（リミット）を使ってこの足し算を計算すると、数学的にぴったり「1」に収束します。

また、実数の大切な性質に「異なる2つの実数の間には、必ず別の実数が存在する」というものがあります。もし0.999…と1が違う数なら、2つの数の間に割り込める別の数が存在するはずです。しかし、1より小さい数をどれほど1に近づけて選んでも、9を十分な数だけ並べた小数がその数を追い越してしまいます。したがって、0.999…より大きく1より小さい数は絶対に存在しません。2つの数の間にいかなる隙間も存在しない以上、この2つは同じ数なのです。

私たちが日常で使っている十進法は、10を基準にして数を表記するルールです。ある数は分数で表すとすっきり書けますが、十進法の小数に直すとどこまでも続く循環小数になってしまいます。

たとえば「3分の1」は分数ならきれいに書き表せますが、十進法の小数では「0.333…」と長くなります。それと同じように、「1」という同じ量も、十進法という世界の中では「1」というすっきりした服と、「0.999…」という裾の長いドレスのような服の両方を着ることができるのです。

つまり、0.999…と1は大きさが違う2つの数ではなく、たった1つの同じ実数を表す異なる2つの表記法にすぎません。「無限」という概念が十進法の小数表記と結びつくことで生じる、不思議だけれどごく自然な数学の事実なのです。