기하평균

내 통장의 투자금이 첫해에 2배(100% 상승)가 되었다가, 이듬해에 절반(50% 하락)으로 줄었다고 상상해 보세요. 100만 원이 200만 원이 되었다가 다시 100만 원이 된 셈이에요. 실제로는 원금 그대로인데, 흔히 쓰는 더하기 방식의 산술평균으로 계산하면 이상한 일이 생겨요. (100% - 50%)를 2로 나누면 매년 평균 25%씩 돈을 번 것처럼 계산되거든요.

더하기 방식의 평균은 숫자가 차례차례 더해지는 상황에서만 들어맞아요. 하지만 돈의 성장이나 인구 증가처럼 앞선 결과에 꼬리를 물고 곱해지는 곱셈의 세계에서는 심각한 착시를 만들어요. 이럴 때 필요한 것이 바로 곱셈을 기준으로 계산하는 기하평균이에요.

성장률에 쓸 때는 +100%는 2배, -50%는 0.5배처럼 먼저 배수(1 + 성장률)로 바꾼 뒤 기하평균을 구하고, 마지막에 1을 빼서 다시 비율로 돌려요. 그래서 기하평균으로 계산하면 2배(2)와 절반(0.5)을 곱해서 1을 만들고, 2년 동안의 변화이므로 제곱근을 씌워요. 루트 1은 그대로 1이고, 여기서 1을 빼면 매년 평균 성장률은 정확히 '0%'라는 진실이 드러나요.

'기하'라는 단어는 도형과 공간을 연구하는 기하학(Geometry)에서 온 말이에요. 가로가 2cm이고 세로가 8cm인 길쭉한 직사각형을 머릿속에 떠올려 보세요. 이 직사각형의 넓이는 두 변을 곱한 16제곱센티미터가 돼요.

만약 이 직사각형과 넓이가 똑같은 '정사각형'을 만든다면 한 변의 길이를 얼마로 해야 할까요? 넓이가 16이 되려면 한 변의 길이는 4cm여야 해요. 이 4cm가 바로 2와 8의 기하평균이에요.

즉, 기하평균은 서로 다른 길이의 변들을 곱해 면적을 구한 뒤, 이를 동일한 크기의 정사각형 한 변으로 바꾸는 작업이에요. 3차원 입체 도형이라면 가로, 세로, 높이를 곱해 부피를 구한 뒤 세제곱근을 씌워 같은 부피의 정육면체 한 변을 찾는 원리예요.

수학에는 쓰임새에 따라 다양한 평균이 존재해요. 우리가 일상에서 흔히 쓰는 '더해서 나누기'는 산술평균이고, 이동 속력이나 작업 능률을 잴 때는 '조화평균'을 써요. 모든 숫자가 양수일 때, 이 세 평균 사이에는 항상 성립하는 특별한 관계가 있어요.

같은 자료를 두고 계산하면 언제나 산술평균이 기하평균보다 크거나 같고, 기하평균은 조화평균보다 크거나 같아요. 비교하는 모든 숫자가 토씨 하나 안 틀리고 똑같을 때만 세 평균의 값이 일치하죠.

그렇기 때문에 투자 수익률이나 물가 상승률처럼 복리로 굴러가는 통계를 볼 때는 주의해야 해요. 산술평균을 쓰면 실제 성장세보다 숫자가 부풀려져 보이기 쉽거든요. 연속적인 비율 변화를 다룰 때는 언제나 기하평균으로 검증해야 현실을 제대로 파악할 수 있어요.