표준편차

양궁 선수 두 명이 각각 화살을 다섯 발씩 쐈다고 상상해 보세요.

첫 번째 선수는 8점, 8점, 8점, 8점, 8점을 쏴서 평균 8점이 나왔어요. 두 번째 선수는 10점, 10점, 8점, 6점, 6점을 쏴서 똑같이 평균 8점이 나왔죠. 두 사람의 평균 점수는 완벽하게 같지만 경기 내용은 완전히 달라요.

첫 번째 선수는 모든 화살이 똑같이 8점 링에 꽂혀 점수에 흔들림이 없어요. 반면에 두 번째 선수는 10점도 쏘지만 6점짜리 빗맞은 화살도 있어서 점수가 넓게 퍼져 있죠. 이처럼 자료가 평균 주변에 얼마나 흩어져 있는지를 하나의 숫자로 나타낸 것이 바로 표준편차예요.

첫 번째 선수처럼 모여 있으면 표준편차가 작고, 두 번째 선수처럼 들쑥날쑥 퍼져 있으면 표준편차가 커져요.

표준편차를 구하려면 먼저 각 데이터가 평균과 얼마나 떨어져 있는지 거리를 재야 해요. 이 거리를 '편차'라고 불러요. 내 점수에서 평균을 뺀 값이죠.

그런데 평균보다 높은 점수는 플러스(+) 편차가 나오고, 평균보다 낮은 점수는 마이너스(-) 편차가 나와요. 이 편차들을 그냥 다 더해버리면 신기하게도 항상 딱 0이 되어 버려요. 서로 상쇄되기 때문이에요.

그래서 수학자들은 모든 편차를 제곱해서 마이너스 기호를 없앤 뒤 평균을 냈어요. 이것을 '분산'이라고 불러요. 하지만 제곱을 하면 단위가 제곱(점²)이 되고 크기 감각도 원래 자료와 달라져서 원래 점수와 비교하기 어려워져요. 그래서 마지막으로 다시 루트(제곱근)를 씌워 원래 크기와 단위로 되돌려놓은 값이 표준편차예요.

조금 더 정확히 말하면 표준편차는 단순한 흩어짐을 넘어 확률을 계산하는 기준이 돼요. 사람들의 키나 시험 점수처럼 많은 자료는 가운데가 불룩한 종 모양의 '정규분포'에 가까운 모양을 보이는 경우가 많아요.

정규분포에서는 평균에서 표준편차 하나만큼 더하고 뺀 구간 안에 전체 데이터의 약 68%가 들어가요. 표준편차 두 개만큼 넓히면 무려 95%가 들어가죠. 이 규칙 덕분에 점수가 정규분포에 가깝게 퍼져 있다면, 내 점수와 평균, 표준편차만으로 내가 상위 몇 퍼센트쯤인지 어림할 수 있어요.

예를 들어 점수가 정규분포를 따르는 시험에서 평균이 70점이고 표준편차가 10점이라면, 80점 이상을 받은 학생은 상위 약 16%에 해당해요. 반대로 평균은 똑같이 70점인데 표준편차가 5점인 시험에서 80점을 받았다면(평균보다 표준편차 두 개만큼 높은 점수) 상위 약 2.5% 안에 드는 아주 뛰어난 성적이 돼요.