標準偏差

アーチェリー選手が2人、それぞれ矢を5本ずつ射った場面を想像してみてください。\n\n1人目の選手は8点、8点、8点、8点、8点を射ち、平均8点でした。2人目の選手は10点、10点、8点、6点、6点を射ち、同じく平均8点でした。2人の平均点は完全に同じですが、射ち方の内容は全く違います。\n\n1人目の選手はすべての矢がぴったり8点ゾーンに刺さり、スコアにブレがありません。一方、2人目の選手は10点も射ちますが、6点という外れた矢もあってスコアが広く散らばっています。このように、データが平均の周りにどれくらい散らばっているかをひとつの数値で表したものが標準偏差です。\n\n1人目の選手のようにまとまっていれば標準偏差は小さく、2人目の選手のようにバラつきがあれば標準偏差は大きくなります。

標準偏差を求めるには、まずそれぞれのデータが平均からどれくらい離れているか、その距離を測る必要があります。この距離を「偏差」と呼びます。自分のスコアから平均を引いた値のことです。\n\nところが、平均より高いスコアはプラス（+）の偏差になり、平均より低いスコアはマイナス（-）の偏差になります。これらの偏差をそのまま全部足してしまうと、不思議なことに必ずぴったり0になってしまいます。プラスとマイナスがお互いに相殺されるからです。\n\nそこで数学者たちは、すべての偏差を2乗してマイナスをなくしたうえで平均を出しました。これを「分散」と呼びます。しかし、2乗すると単位が「点²」になってしまい、元のデータと感覚がずれて比較しづらくなります。そこで最後に再びルート（平方根）をかぶせて、元の大きさと単位に戻した値が標準偏差なのです。

もう少し詳しく言うと、標準偏差は単なる散らばり具合を超えて、確率を計算するための基準になります。人間の身長やテストの点数のように、多くのデータは中央が盛り上がった釣鐘型の「正規分布」に近い形を示します。\n\n正規分布では、平均から標準偏差1個分を足し引きした区間の中に全体の約68%のデータが収まります。標準偏差2個分まで広げると、なんと約95%が収まります。この法則のおかげで、点数が正規分布に近ければ、自分の点数と平均、標準偏差だけで自分が上位何パーセントくらいにいるのかをおおよそ把握できます。\n\n例えば、点数が正規分布に従うテストで平均が70点、標準偏差が10点の場合、80点以上を取った生徒は上位約16%に該当します。反対に、平均は同じ70点でも標準偏差が5点のテストで80点を取った場合（平均より標準偏差2個分高い点数）、上位約2.5%に入る極めて優秀な成績になります。