正規分布

学校の全校生徒の身長を調べて、棒グラフにしていくと、どんな形になるでしょうか。同じ年代の平均身長のあたりに、いちばん多くの生徒がぎっしり並ぶことになります。

反対に、平均よりずっと背が低い生徒や、飛びぬけて背が高い生徒は、両端へ行くほど数がはっきり減っていきます。たくさんの棒の頭をなめらかな1本の線でつなぐと、真ん中が盛り上がった、左右対称に近い釣り鐘形になることが多いのです。

おもちゃの板の上にたくさんの鉄の玉を流し込む実験でも、同じ姿が現れます。玉はピンにぶつかって左右にランダムにはね返りますが、最後には底の平均の位置にいちばん多くの玉が、山のように積み上がります。

正規分布にしたがうデータなら、種類にかかわらず、不思議なほど同じように当てはまる決まった割合の法則があります。平均からのデータの広がりを表す「標準偏差」をものさしにすると見えてくる、ちょっとした魔法です。

平均を中心に標準偏差1つ分の範囲には、全体の約68%がおとなしく収まっています。範囲を2倍に広げると全体の約95%が含まれ、3倍に広げると、なんと99.7%というほぼすべてのデータがこの範囲にすっぽり入ります。

この法則を知っていれば、複雑な統計計算をいちいちしなくても、自分の位置をすぐにつかめます。たとえば、点数が正規分布にしたがう全国試験で上位2.5%に入る好成績をとるには、平均より標準偏差2つ分以上高い点数が必要だと、すぐに分かるのです。

身長、体重、テストの点数、さらには工場でつくられるボルトの太さまで、どうしてこんなに多くの測定値が釣り鐘形に近いのでしょうか。自然や社会で起こる多くのことは、たった1つの原因ではなく、とてもたくさんの小さな偶然が重なってできているからです。

人の身長だけを見ても、たくさんの遺伝子、子どものころに食べたもの、睡眠の習慣、運動量といった、数えきれない独立した要因が組み合わさって足されます。いくつもの要因が足し合わされる中で、大きすぎたり小さすぎたりする極端な偶然は互いに打ち消し合い、ほとんどは平凡な真ん中あたりにとどまります。

数学では、この驚くべき性質が中心極限定理という名前で証明されました。もとのデータがどんな奇妙な形をしていても（ばらつきが無限に大きくなければ）、一度に取り出す標本の大きさを十分に大きくして求めた平均の分布は、正規分布に近づく、という大発見です。